Question

如图，△OAB中，OA＝OB＝10cm，∠AOB＝80°，以点O为圆心，半径为6cm的优弧 分别交OA，OB于点M，N．

（1）点P在右半弧上（∠BOP是锐角），将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′．求证：AP＝BP′；

（2）点T在左半弧上，若AT与弧相切，求AT的长．

Answer

(1)见解析；（2）8

【解析】

试题（1）首先根据已知得出∠AOP=∠BOP′，进而得出△AOP≌△BOP′，即可得出答案；（2）利用切线的性质得出∠ATO=90°，再利用勾股定理求出AT的长.

（1）证明：∵∠AOB=∠POP′=80°，

∴∠AOB+∠BOP=∠POP′+∠BOP，

即∠AOP=∠BOP′

在△AOP与△BOP′中

OA=OB,

∠AOP=∠BOP,

OP=OP′，

∴△AOP≌△BOP′，

∴AP=BP′．

（2）∵AT与弧相切，连结OT．

∴OT⊥AT，

在Rt△AOT中，根据勾股定理得，AT=，

∵OA=10，OT=6

∴AT=8．