Question

如图，已知锐角△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D．

（1）求证：∠ACB+∠BAD＝90°；

（2）过点D作DE⊥AB于E，若∠ADC＝2∠ACB．求证：AC＝2DE．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】

试题（1）延长AD交⊙O于点F，连接BF．根据直径对的圆周角是直角得出∠ABF=90°，∠AFB +∠BAD=90°，同弧所对的圆周角相等∠AFB=∠ACB，即可证明.

（2）如图2中，过点O作OH⊥AC于H，连接BO．证明即可解决问题．

试题解析:（1）证明：延长AD交⊙O于点F，连接BF．

∵AF为⊙O的直径，

∴∠ABF=90°，

∴∠AFB +∠BAD=90°，

∵∠AFB=∠ACB，

∴∠ACB+∠BAD=90°．

（2）证明：如图2中，过点O作OH⊥AC于H，连接BO．

∵∠AOB=2∠ACB，

∠ADC=2∠ACB，

∴∠AOB=∠ADC，

∴∠BOD=∠BDO，

∴BD=BO，

∴BD=OA,

∵∠BED=∠AHO，∠ABD=∠AOH，

∴△BDE≌△AOH，

∴DE=AH，

∵OH⊥AC，

∴AH=CH=AC，∴AC=2DE．