Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若AB＝10，AC＝6，求DE的长．

Answer

（1）详见解析；（2）4.

【解析】

（1）连接OD，如图，先证明OD∥AE，再利用DE⊥AE得到OD⊥DE，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）作OF⊥AC于F，如图，利用垂径定理得到AF=CF=AC=3，在Rt△OAF中利用勾股定理计算出OF=4，然后证明四边形OFED为矩形，从而得到DE=OF=4．

（1）证明：连接OD，如图，

∵∠BAC的平分线交⊙O于点D，

∴∠BAD＝∠EAD，

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA，

∴∠EAD＝∠ODA，

∴OD∥AE，

∵DE⊥AE，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线；

（2）【解析】
作OF⊥AC于F，如图，则AF＝CF＝AC＝3，

在Rt△OAF中，OF＝ ＝4，

∵∠OFE＝∠FED＝∠EDO＝90°，

∴四边形OFED为矩形，

∴DE＝OF＝4．