Question

如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且PA＝PB，延长BO分别与⊙O、切线PA相交于C、Q两点．

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）QD为PB边上的中线，若AQ＝4，CQ＝2，求QD的值．

Answer

（1）详见解析；（2）QD的值是．

【解析】

（1）要证明PB是⊙O的切线，只要证明∠PBO=90°即可，根据题意可以证明△OBP≌△OAP，从而可以解答本题；
（2）根据题意和勾股定理的知识，可以求得QD的值．

（1）证明：连接OA，

在△OBP和△OAP中，

，

∴△OBP≌△OAP（SSS），

∴∠OBP＝∠OAP，

∵PA是⊙O的切线，A是切点，

∴∠OAP＝90°，

∴∠OBP＝90°，

∵OB是半径，

∴PB是⊙O的切线；

（2）连接OC

∵AQ＝4，CQ＝2，∠OAQ＝90°，

设OA＝r，

则r2+42＝（r+2）2，

解得，r＝3，

则OA＝3，BC＝6，

设BP＝x，则 AP＝x，

∵PB是圆O的切线，

∴∠PBQ＝90°，

∴x2+（6+2）2＝（x+4）2，

解得，x＝6，

∴BP＝6，

∴BD＝3，

∴QD＝ = ，

即QD的值是．