Question

如图，AB是⊙O的直径，∠ACB的平分线交AB于点D，交⊙O于点E，过点C作⊙O的切线CP交BA的延长线于点P，连接AE．

（1）求证：PC＝PD；

（2）若AC＝6cm，BC＝8cm，求线段AE、CE的长．

Answer

（1）详见解析；（2）EC＝7，AE＝．

【解析】

（1）如图1中，连接OC、OE．利用等角的余角相等，证明∠PCD=∠PDC即可；
（2）如图2中．作EH⊥BC于H，EF⊥CA于F．首先证明Rt△AEF≌Rt△BEH，推出AF=BH，设AF=BH=x，再证明四边形CFEH是正方形，推出CF=CH，可得6+x=8-x，推出x=1，延长即可解决问题；

（1）证明：如图1中，连接OC、OE．

∵AB 直径，

∴∠ACB＝90°，

∴CE平分∠ACB，

∴∠ECA＝∠ECB＝45°，

∴ ，

∴OE⊥AB，

∴∠DOE＝90°，

∵PC是切线，

∴OC⊥PC，

∴∠PCO＝90°，

∵OC＝OE，

∴∠OCE＝∠OEC，

∵∠PCD+∠OCE＝90°，∠ODE+∠OEC＝90°，∠PDC＝∠ODE，

∴∠PCD＝∠PDC，

∴PC＝PD．

（2）如图2中．作EH⊥BC于H，EF⊥CA于F．

∵CE平分∠ACB，EH⊥BC于H，EF⊥CA于F，

∴EH＝EF，∠EFA＝∠EHB＝90°，

∵，

∴AE＝BE，

∴Rt△AEF≌Rt△BEH，

∴AF＝BH，设AF＝BH＝x，

∵∠F＝∠FCH＝∠CHE＝90°，

∴四边形CFEH是矩形，

∵EH＝EF，

∴四边形CFEH是正方形，

∴CF＝CH，

∴6+x＝8﹣x，

∴x＝1，

∴CF＝FE＝7，

∴EC＝CF＝7 ，

AE＝ ==5 ．