Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，△ABC的高CD与角平分线AE相交点F，过点C作CH⊥AE于G，交AB于H．下列说法：①∠BCH=∠CAE；②DF=EF；③CE=BH；④S_△ABE=2S_△ACE；⑤CF=DF．正确的是_____．

Answer

①③⑤

【解析】

①根据同角的余角相等可得结论正确；
②如图1，作辅助线，构建三角形的内心为F，根据角平分线的性质得：DF=FM，由垂线段最短可知：EF>FM，则EF>DF；
③如图1，证明△ACF≌△CBH，可得CF=BH=CE，可作判断；
④如图2，连接EH，FH，先证明四边形CFHE是菱形，得CD∥EH，则EH⊥AB，所以△EHB是等腰直角三角形，则BE=EH=CE，根据三角形面积公式可得S△ABE=S△ACE；
⑤如图2，易得△ADF≌△CDH，由△FDH是等腰直角三角形，则FH=DF，所以CF=FH=DF．

①∵∠ACB=90°，
∴∠CAE+∠AEC=90°，
∵CH⊥AE，
∴∠CGE=90°，
∴∠BCH+∠AEC=90°，
∴∠BCH=∠CAE；
故①正确；
②如图1,连接FB,过F作FM⊥BC于M, 

∵AC=BC，CD⊥AB，
∴CD平分∠ACB，
∵AE平分∠CAB，
∴BF平分∠ABC，
∵FD⊥AB，
∴DF=FM，
Rt△FME中,∠AEC=45°+22.5°=67.5°，
∴EF>FM，
即EF>DF，
故②不正确；
③如图1，∵∠DCH=∠BCH，AE⊥CG，
∴∠CFG=∠CEF，
∴CF=CE，
在△ACF和△CBH中，
∵∠HCB=∠FAC，BC=AC，∠B=∠ACF=45°，
∴△ACF≌△CBH，
∴CF=BH=CE, 
故③正确；
④如图2，连接EH，FH，
∵∠AHC=∠B+∠BCH=45°+22.5°=67.5°，

∠ACH=90°−∠BCH=67.5°，
∴∠AHC=∠ACH，
∴AC=AH，
∵AE⊥CH，
∴CG=GH，
∵CF=CE，
∴GF=GE，
∴四边形CFHE是菱形，
∴CD∥EH，
∵CD⊥AB，
∴EH⊥AB，
∴△EHB是等腰直角三角形，
∴BE=EH=CE，
∵S△ABE=BE⋅AC，
S△ACE=CE⋅AC，
∴S△ABE=S△ACE，
故④不正确；
⑤如图2,易得△ADF≌△CDH，
∴DF=DH，
∴∠FHD=45°，
∴△FDH是等腰直角三角形，
∴FH=DF，
∵∠AHC=67.5°，
∴∠FHC=∠FCH=22.5°，
∴CF=FH=DF，
故⑤正确；
综上所述，正确的是：①③⑤
故答案为：①③⑤.