Question

如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是直线AB上的一动点（不和A、B重合），BE⊥CD于E，交直线AC于F．

（1）点D在边AB上时，请证明：BD＝AB﹣AF；

（2）试探索：点D在AB的延长线或反向延长线上时，请在备用图中画出图形，（1）中的结论是否成立？若不成立，请直接写出正确结论（不需要证明）．

Answer

（1）证明见解析（2）结论不成立

【解析】

（1）易证∠FBA=∠FCE，结合条件容易证到△FAB≌△DAC，从而有FA=DA，就可得到AB=AD+BD=FA+BD．

（2）由于点D的位置在变化，因此线段AF、BD、AB之间的大小关系也会相应地发生变化，只需画出图象并借鉴（1）中的证明思路就可解决问题．

（1）证明∵BE⊥CD即∠BEC=90°，∠BAC=90°，

∴∠F+∠FBA=90°，∠F+∠FCE=90°，

∴∠FBA=∠FCE，

∵∠FAB=180°-∠DAC=90°，

∴∠FAB=∠DAC，

在△FAB和△DAC中，，

∴△FAB≌△DAC（ASA），

∴FA=DA，

∴AB=AD+BD=FA+BD，

∴BD=AB-AF；

（2）【解析】
（1）中的结论不成立．

点D在AB的延长线上时，AB=AF-BD；点D在AB的反向延长线上时，AB=BD-AF．

理由如下：

①当点D在AB的延长线上时，如图2．

同理可得：FA=DA．

则AB=AD-BD=AF-BD．

②点D在AB的反向延长线上时，如图3．

同理可得：FA=DA．

则AB=BD-AD=BD-AF．