Question

如图，已知矩形 ABCD 中，AB＝1，BC＝，点 M 在 AC 上，且 AM＝AC，连接并延长 BM 交 AD 于点 N．

（1）求证：△ABC∽△AMB；

（2）求 MN 的长．

Answer

（1）见解析；（2）MN=.

【解析】

（1）在Rt△ABC中利用勾股定理可求出AC的长度，进而可得出AM的长度，由AB、AM、AC的长度可得出 =，结合∠BAM=∠CAB即可证出△ABC∽△AMB； 
（2）由△ABC∽△AMB可得出∠BMA=90°=∠BAN，利用勾股定理可求出BM的长度，结合∠ABM=∠NBA可证出△ABM∽△NBA，根据相似三角形的性质即可求出MN的长度．

（1）在 Rt△ABC 中，AB＝1，BC＝，

∴AC＝2．

∵AM＝ AC，

∴AM＝ ，

∴＝＝ ．

又∵∠BAM＝∠CAB，

∴△ABC∽△AMB．

（2）【解析】
∵△ABC∽△AMB，

∴∠BMA＝∠CBA＝90°＝∠BAN，

∴BM＝＝．

又∵∠ABM＝∠NBA，

∴△ABM∽△NBA，

∴＝，即 = ， 解得：MN＝．