Question

如图，AB 是⊙O 的一条弦，C 是 AB 的中点，过点 C 作直线垂直于OA 于点 D，交过点 B 的⊙O 的切线于点 E．

（1）求证：BE＝CE；

（2）若⊙O 的半径长为 8，AB＝12，求 BE 的长．

Answer

（1）见解析；（2）BE＝4．

【解析】

（1）欲证明BE=CE，只要证明∠ECB=∠EBC； 
（2）作EF⊥AB于F，连接OC．根据cos∠ECF=cos∠AOC= ==，计算即可；

（1）证明：结论：△EBC 是等腰三角形； 理由∵AO＝OB，

∴∠OAB＝∠OBA，

∵BE 是切线，

∴OB⊥BE，

∴∠OBE＝90°，

∴∠OBC+∠CBE＝90°，

∵CD⊥OA，

∴∠CAD+∠ACD＝90°，

∵∠ACD＝∠ECB，

∴∠CBE＝∠ECB，

∴EC＝EB，

（2）【解析】
作 EF⊥AB 于 F，连接 OC．

∵EC＝EB，AC＝CB＝6，

∴BF＝CF＝ BC＝3，OC⊥AB，

∵∠AOC+∠A＝90°，∠ECF+∠A＝90°，

∴∠AOC＝∠ECF＝∠EBF，

∴cos∠ECF＝cos∠AOC＝ ＝＝，

∴BE＝4．