Question

如图，若等边△A₁B₁C₁内接于等边△ABC的内切圆，则的值为_____．

Answer

【解析】

由于△ABC、△A1B1C1都是等边三角形，因此它们的外心与内心重合；可过内切圆的圆心O分别作AB、A1B1的垂线，连接OA、OA1；在构建的含特殊角的直角三角形中，用⊙O的半径分别表示出AB、A1B1的长，进而可求出它们的比值．

∵△A1B1C1和△ABC都是等边三角形，
∴它们的内心与外心重合.
如图,过点O作AB的垂线,交A1B1于E,连接OA、OA1.
设圆O的半径为R.
Rt△OAD中,∵∠OAD=30°，OD=R，
∴AD=R,即AB=2R.
Rt△OA1E中,∵∠OA1E=30°,OA1=R，
∴A1E=R,即A1B1=R.

∴.