Question

如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD=120°，CA平分∠BCD．

（1）求证：△ABD是等边三角形；

（2）若BD=3，求⊙O的半径．

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）因为AC平分∠BCD，∠BCD＝120°，根据角平分线的定义得：∠ACD＝∠ACB＝60°，根据同弧所对的圆周角相等，得∠ACD＝∠ABD，∠ACB＝∠ADB，∠ABD＝∠ADB＝60°.根据三个角是60°的三角形是等边三角形得△ABD是等边三角形.（2）作直径DE，连结BE，由于△ABD是等边三角形，则∠BAD＝60°，由同弧所对的圆周角相等，得∠BED＝∠BAD＝60°.根据直径所对的圆周角是直角得，∠EBD＝90°，则∠EDB＝30°，进而得到DE＝2BE.设EB＝x，则ED＝2x，根据勾股定理列方程求解即可.

【解析】
（1）∵∠BCD=120°，CA平分∠BCD，

∴∠ACD=∠ACB=60°，

由圆周角定理得，∠ADB=∠ACB=60°，∠ABD=∠ACD=60°，

∴△ABD是等边三角形；

（2）连接OB、OD，作OH⊥BD于H，

则DH=BD=，

∠BOD=2∠BAD=120°，

∴∠DOH=60°，

在Rt△ODH中，OD==，

∴⊙O的半径为．