Question

如图，已知点E在△ABC的边AB上，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且D在以A为直径的⊙O上．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）若DC＝4，AC＝6，求圆心O到AD的距离．

Answer

（1）详见解析；（2）圆心O到AD的距离是．

【解析】

（1）连接OD，求出∠CAD=∠OAD=∠ODA，得出OD∥AC，推出OD⊥BC，根据切线判定推出即可；

（2）根据含30度角的直角三角形性质求出BO，AC，根据勾股定理求出BD、BC，求出CD，根据勾股定理求出AD即可．

（1）证明：连接OD，

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA，

∵AD平分∠BAC，

∴∠OAD＝∠CAD，

∴∠ODA＝∠CAD，

∴OD∥AC，

又∵∠C＝90°，

∴∠ODB＝∠C＝90°，

∴OD⊥BC，

∴BC是⊙O的切线．

（2）过O作OF⊥AD于F，

由勾股定理得：AD＝，

∴DF＝AD＝，

∵∠OFD＝∠C＝90°，∠ODA＝∠CAD，

∴△ACD∽△DFO，

∴，

∴，

∴FO＝，

即圆心O到AD的距离是．