Question

如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OD⊥AB，与AC交于点E，∠D＝2∠A．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）求证：DE＝DC；

（3）若OD＝5，CD＝3，求AC的长．

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1））连接OC．证∠D＝∠COB．由OD⊥AB，得∠COB＋∠COD＝90°．可证∠D＋∠COD＝90°．即∠DCO＝90°；

（2）由∠DCE＋∠ACO＝90°，∠AEO＋∠A＝90°和∠A＝∠ACO，∠DEC＝∠AEO，可得∠DEC＝∠DCE ，即DE＝DC．

（3）先求得OC＝4，AB＝2OC＝8， OE＝OD－DE＝2，再证△AOE∽△ACB，得，

设AC＝x，则BC＝ ，

在△ABC中，由AC2＋BC2＝AB2，求得x＝.

证明：（1）连接OC．

在⊙O中，OA＝OC，

∴∠ACO＝∠A，故∠COB＝2∠A．

又∵∠D＝2∠A，

∴∠D＝∠COB．

又∵OD⊥AB，∴∠COB＋∠COD＝90°．

∴∠D＋∠COD＝90°．即∠DCO＝90°．

即OC⊥DC，又点C在⊙O上，

∴CD是⊙O的切线．

（2）∵∠DCO＝90°，∴∠DCE＋∠ACO＝90°．

又∵OD⊥AB，∴∠AEO＋∠A＝90°．

又∵∠A＝∠ACO，∠DEC＝∠AEO，

∴∠DEC＝∠DCE

∴DE＝DC．

（3）∵∠DCO＝90°，OD＝5，DC＝3，

∴OC＝4，

∴AB＝2OC＝8，又DE＝DC，OE＝OD－DE＝2

在△AOE与△ACB中，

∠A＝∠A，∠AOE＝∠ACB＝90°

∴△AOE∽△ACB，

∴，

设AC＝x，则BC＝

在△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，求得x＝

所以AC的长为．