Question

如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，连接DB，过点D作DE⊥BC，垂足为E．

（1）求证：AD＝CD．

（2）求证：DE为⊙O的切线．

（3）若∠C＝60°，DE＝，求⊙O半径的长．

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）⊙O半径的长为4．

【解析】

（1）先利用圆周角定理得到∠ADB=90°，再根据等腰三角形的性质得AD=CD；

（2）连接OD，如图，先证明OD为△BAC的中位线，则OD∥BC，再利用DE⊥BC得到OD⊥DE，然后根据切线的判定定理得到结论；

（3）先在Rt△CDE中计算出CE=DE=2，CD=2CE=4，再利用∠A=∠C=60°，AD=CD=4，然后在Rt△ADB中利用AB=2AD求解．

（1）证明：∵AB为直径，

∴∠ADB＝90°，

∵BA＝BC，

∴AD＝CD；

（2）证明：连接OD，如图，

∵AD＝CD，AO＝OB，

∴OD为△BAC的中位线，

∴OD∥BC，

∴DE⊥BC，

∴OD⊥DE，

∴DE为⊙O的切线；

（3）在Rt△CDE中，∠C＝60°，DE＝，

∴CE＝DE＝×2＝2，

∴CD＝2CE＝4，

∵∠A＝∠C＝60°，AD＝CD＝4，

在Rt△ADB中，AB＝2AD＝8，

即⊙O半径的长为4．