Question

已知：AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于E．

（1）求证：DE为⊙O的切线；

（2）连接BE交圆于F，连AF并延长ED于G，若GE＝2，AF＝3，求∠EAF的度数．

Answer

（1）详见解析；（2）∠EAF的度数为30°．

【解析】

（1）连接OD，如图，先证明OD∥AC，再利用DE⊥AC得到OD⊥DE，然后根据切线的判定定理得到结论；

（2）利用圆周角定理得到∠AFB=90°，再证明Rt△GEF∽△Rt△GAE，利用相似比得到，于是可求出GF=1，然后在Rt△AEG中利用正弦定义求出∠EAG的度数即可．

（1）证明：连接OD，如图，

∵OB＝OD，

∴∠OBD＝∠ODB，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C，

∴∠ODB＝∠C，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∴DE为⊙O的切线；

（2）∵AB为直径，

∴∠AFB＝90°，

∵∠EGF＝∠AGF，

∴Rt△GEF∽△Rt△GAE，

∴，即，

整理得GF2+3GF﹣4＝0，解得GF＝1或GF＝﹣4（舍去），

在Rt△AEG中，sin∠EAG＝，

∴∠EAG＝30°，

即∠EAF的度数为30°．