Question

如图，AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，连接DA交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F．

（1）求证：CE=EF；

（2）连接AF并延长，交⊙O于点G．填空：

①当∠D的度数为　   　时，四边形ECFG为菱形；

②当∠D的度数为　   　时，四边形ECOG为正方形．

Answer

（1）证明见解析；（2）①30°；②22.5°.

【解析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得∠1+∠4=90°，再利用等腰三角形和互余证明∠1=∠2，然后根据等腰三角形的判定定理得到结论；

（2）①当∠D=30°时，∠DAO=60°，证明△CEF和△FEG都为等边三角形，从而得到EF=FG=GE=CE=CF，则可判断四边形ECFG为菱形；

②当∠D=22.5°时，∠DAO=67.5°，利用三角形内角和计算出∠COE=45°，利用对称得∠EOG=45°，则∠COG=90°，接着证明△OEC≌△OEG得到∠OEG=∠OCE=90°，从而证明四边形ECOG为矩形，然后进一步证明四边形ECOG为正方形．

（1）证明：连接OC，如图，

.

∵CE为切线，

∴OC⊥CE，

∴∠OCE=90°，即∠1+∠4=90°，

∵DO⊥AB，

∴∠3+∠B=90°，

而∠2=∠3，

∴∠2+∠B=90°，

而OB=OC，

∴∠4=∠B，

∴∠1=∠2，

∴CE=FE；

（2）【解析】
①当∠D=30°时，∠DAO=60°，

而AB为直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠B=30°，

∴∠3=∠2=60°，

而CE=FE，

∴△CEF为等边三角形，

∴CE=CF=EF，

同理可得∠GFE=60°，

利用对称得FG=FC，

∵FG=EF，

∴△FEG为等边三角形，

∴EG=FG，

∴EF=FG=GE=CE，

∴四边形ECFG为菱形；

②当∠D=22.5°时，∠DAO=67.5°，

而OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC=67.5°，

∴∠AOC=180°-67.5°-67.5°=45°，

∴∠AOC=45°，

∴∠COE=45°，

利用对称得∠EOG=45°，

∴∠COG=90°，

易得△OEC≌△OEG，

∴∠OEG=∠OCE=90°，

∴四边形ECOG为矩形，

而OC=OG，

∴四边形ECOG为正方形．

故答案为30°，22.5°．