Question

如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．

（1）求证： DE是⊙O的切线；

（2）若AB＝2，BC＝，求DE的长．

Answer

（1）详见解析；（2）DE＝ ．

【解析】

（1）直接利用圆周角定理以及结合切线的判定方法得出DE是⊙O的切线；

（2）首先过点C作CG⊥DE，垂足为G，则四边形ODGC为正方形，得出tan∠CEG=tan∠ACB，，即可求出答案．

（1）证明：连接OD，

∵AC是⊙O的直径，

∴∠ABC＝90°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝45°，

∴∠AOD＝90°，

∵DE∥AC，

∴∠ODE＝∠AOD＝90°，

∴DE是⊙O的切线；

（2）【解析】
在Rt△ABC中，AB＝2，BC＝，

∴AC＝，

∴OD＝，

过点C作CG⊥DE，垂足为G，

则四边形ODGC为正方形，

∴DG＝CG＝OD＝，

∵DE∥AC，

∴∠CEG＝∠ACB，

∴tan∠CEG＝tan∠ACB，

∴，即,

解得：GE＝，

∴DE＝DG+GE＝．