Question

如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若点F是OA的中点，OE＝3，求图中阴影部分的面积；

（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP的长．

Answer

（1）详见解析；（2）；（3）当PE+PF取最小值时，BP的长为．

【解析】

（1）作OH⊥AC于H，如图，利用等腰三角形的性质得AO平分∠BAC，再根据角平分线性质得OH=OE，然后根据切线的判定定理得到结论；

（2）先确定∠OAE=30°，∠AOE=60°，再计算出AE=3，然后根据扇形面积公式，利用图中阴影部分的面积=S△AOE-S扇形EOF进行计算；

（3）作F点关于BC的对称点F′，连接EF′交BC于P，如图，利用两点之间线段最短得到此时EP+FP最小，通过证明∠F′=∠EAF′得到PE+PF最小值为3，然后计算出OP和OB得到此时PB的长．

（1）证明：作OH⊥AC于H，如图，

∵AB＝AC，AO⊥BC于点O，

∴AO平分∠BAC，

∵OE⊥AB，OH⊥AC，

∴OH＝OE，

∴AC是⊙O的切线；

（2）∵点F是AO的中点，

∴AO＝2OF＝6，

而OE＝3，

∴∠OAE＝30°，∠AOE＝60°，

∴AE＝OE＝3，

∴图中阴影部分的面积＝S△AOE﹣S扇形EOF＝×3×3﹣；

（3）作F点关于BC的对称点F′，连接EF′交BC于P，如图，

∵PF＝PF′，

∴PE+PF＝PE+PF′＝EF′，此时EP+FP最小，

∵OF′＝OF＝OE，

∴∠F′＝∠OEF′，

而∠AOE＝∠F′+∠OEF′＝60°，

∴∠F′＝30°，

∴∠F′＝∠EAF′，

∴EF′＝EA＝3，

即PE+PF最小值为3，

在Rt△OPF′中，OP＝OF′＝，

在Rt△ABO中，OB＝OA＝×6＝2，

∴BP＝2﹣＝，

即当PE+PF取最小值时，BP的长为．