Question

如图，已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O，连接AF、CE．

（1）求证：△AOE≌△COF；

（2）求证：四边形AFCE为菱形；

（3）求菱形AFCE的周长．

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）20cm．

【解析】

（1）求出AO=OC，∠AOE=∠COF，根据平行的性质得出∠EAO=∠FCO，根据ASA即可得出两三角形全等；

（2）根据全等得出OE=OF，推出四边形是平行四边形，再根据EF⊥AC即可推出四边形是菱形；

（3）设AF=xcm，则CF=AF=xcm，BF=（8-x）cm，在Rt△ABF中，由勾股定理得出方程42+（8-x）2=x2，求出x的值，进而得到菱形AFCE的周长．

（1）证明：∵EF是AC的垂直平分线，

∴AO=OC，∠AOE=∠COF=90°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠EAO=∠FCO．

在△AOE和△COF中，

，

∴△AOE≌△COF（ASA）；

（2）证明：∵△AOE≌△COF，

∴OE=OF，

∵OA=OC，

∴四边形AFCE为平行四边形，

又∵EF⊥AC，

∴平行四边形AFCE为菱形；

（3）【解析】
设AF=xcm，则CF=AF=xcm，BF=（8﹣x）cm，

在Rt△ABF中，由勾股定理得：

AB2+BF2=AF2，

即42+（8﹣x）2=x2，

解得x=5．

所以菱形AFCE的周长为5×4=20cm．