Question

如图，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点 B、C、E 在同一条直线上，AE与 BD交于点 O，AE与 CD交于点 G，AC与 BD交于点 F，连接 OC、FG，则下列结论要：①AE＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④OC 平分∠BOE，其中结论正确的个数有（        ）

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

Answer

D

【解析】

首先根据等边三角形的性质，得到 BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠BCD＝60°，然后由 SAS 判定△BCD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等即可证得①正确；又由全等三角形的对应角相等，得到∠CBD＝∠CAE，根据ASA，证得△BCF≌△ACG，即可得到②正确，同理证得 CF＝CG，得到△ CFG 是等边三角形，易得③正确．

∵△ABC 和△DCE 均是等边三角形，

∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，

∴∠ACB+∠ACD＝∠ACD+∠ECD，∠ACD＝60°，

∴△BCD≌△ACE（SAS），

∴AE＝BD，①正确；

∠CBD＝∠CAE，

∵∠BCA＝∠ACG＝60°，AC＝BC，

∴△BCF≌△ACG（ASA），

∴AG＝BF，②正确；

同理：△DFC≌△EGC（ASA），

∴CF＝CG，

∴△CFG 是等边三角形，

∴∠CFG＝∠FCB＝60°，

∴FG∥BE，③正确；

过 C 作 CM⊥AE 于 M，CN⊥BD 于 N，

∵△BCD≌△ACE，

∴∠BDC＝∠AEC，

∵CD＝CE，∠CND＝∠CMA＝90°，

∴△CDN≌△CEM，

∴CM＝CN，

∵CM⊥AE，CN⊥BD，

∴△Rt△OCN≌Rt△OCM（HL）

∴∠BOC＝∠EOC，

∴OC 平分∠BOE，④正确； 故选：D．