Question

如图，△ABC 中，∠C＝90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB于 E，AC＝BE．

（1）求证：AD＝BD；

（2）求∠B的度数．

Answer

（1）证明见解析；（2）∠B＝30°．

【解析】

（1）根据角平分线的性质得到 CD＝DE，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；

（2）根据角平分线的定义可得∠CAD＝∠BAD，根据等边对等角可得∠B＝∠BAD，再根据三角形的内角和定理列出方程求解即可．

（1）∵DE⊥AB于E，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，

∴CD＝DE，

在Rt△ACD与Rt△AED中，

，

∴Rt△ACD≌Rt△AED，

∴AC＝AE，

∵AC＝BE，

∴AE＝BE，

∴AD＝BD；

(2) ∵点D是△ABC的角平分线，

∴∠CAD＝∠BAD，

∵AD＝BD，

∴∠B＝∠BAD，

∴∠CAD＝∠BAD＝∠B，

∵∠C＝90°，

∴∠CAD+∠BAD+∠B＝90°，

∴∠B＝30°．