Question

抛物线 y＝ax²+bx+5 的顶点坐标为（2，9），与 y 轴交于点 A（0，5），与 x 轴交于点 E、B（点 E 在点 B 的左侧），点 P 为拋物线上一点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）过点 A 作 AC 平行于 x 轴，交抛物线于点 C，当点 P 在 AC 上方时，作 PD平行于 y 轴交 AB 于点 D，求使四边形 APCD 的面积最大时点 P 的坐标；

（3）设 N 为 x 轴上一点，当以 A、E、N、P 为顶点，AE 为一边的四边形是平行四边形时，求点 P 的坐标．

Answer

（1）y＝﹣x2+4x+5；（2）使四边形 APCD 的面积最大时点 P 的坐标为（）；（3）点 P 的坐标（4，5）或P（2，﹣5）或（2，﹣5）．

【解析】

（1）根据顶点式设出抛物线解析式，用待定系数法求解即可；

（2）先求出直线AB解析式，设出点P坐标（x，﹣x2+4x+5），建立函数关系式S四边形APCD＝﹣2x2+10x，根据二次函数求出最值；

（3）分两种情况：

①当P在x轴上方时，以AE为边时，如图2，根据P的纵坐标为5列方程可得P的坐标；

②当P在x轴的下方时，以AE为边，如图3，同理可得P的纵坐标为﹣5，列方程可得P的坐标．

（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+9．

∵抛物线与y轴交于点A（0，5），∴4a+9＝5，∴a＝﹣1，y＝﹣（x﹣2）2+9＝﹣x2+4x+5，（2）如图1，当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，∴x1＝﹣1，x2＝5，∴E（﹣1，0），B（5，0），设直线AB的解析式为y＝mx+n．

∵A（0，5），B（5，0），∴m＝﹣1，n＝5，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5；

设P（x，﹣x2+4x+5）．

∵点P在AC上方，∴0＜x＜4，∴D（x，﹣x+5），∴PD＝﹣x2+4x+5+x﹣5＝﹣x2+5x．

∵AC＝4，∴S四边形APCD＝S△APD+S△PCDPD•AHPD•AC4（﹣x2+5x）＝﹣2x2+10x＝﹣2（x）2．

∵﹣2＜0，∴当x时，即：使四边形APCD的面积最大时点P的坐标为（）．

（3）分两种情况：

①当P在x轴上方时，以AE为边时，如图2．

∵N在x轴上，四边形AENP是平行四边形，∴AP∥EN．

∵A（0，5），∴P的纵坐标为5，当y＝5时，﹣x2+4x+5＝5，解得：x1＝0，x2＝4，∴P（4，5）；

②当P在x轴的下方时，以AE为边，如图3，同理可得P的纵坐标为﹣5，当y＝﹣5时，﹣x2+4x+5＝﹣5，解得：x＝2±，∴P（2，﹣5）或（2，﹣5）．

综上所述：点P的坐标（4，5）或（2，﹣5）或（2，﹣5）．