Question

已知关于 x 的一元二次方程 x²﹣（m﹣3）x﹣m＝0

(1)求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)如果方程的两实根为 x₁、x₂，且 x₁²+x ₂²﹣x₁x₂＝7，求 m 的值．

Answer

（1）证明见解析（2）1或2

【解析】

试题（1）要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明原来的一元二次方程的△的值大于0即可；

（2）根据根与系数的关系可以得到关于m的方程，从而可以求得m的值．

试题解析：（1）证明：∵x2-（m-3）x-m=0，

∴△=[-（m-3）]2-4×1×（-m）=m2-2m+9=（m-1）2+8＞0，

∴方程有两个不相等的实数根；

（2）∵x2-（m-3）x-m=0，方程的两实根为x1、x2，且x12+x22-x1x2=7，

∴(x1+x2)2−3x1x2＝7，

∴（m-3）2-3×（-m）=7，

解得，m1=1，m2=2，

即m的值是1或2．