Question

如图，在正方形 ABCD 中，E 为直线 AB 上的动点（不与 A、B 重合），作射线 DE 并绕点 D 逆时针旋转 45°，交直线 BC 于点 F，连接 EF．

探究：当点 E 在边 AB 上，求证：EF＝AE+CF．

应用：(1)当点 E 在边 AB 上，且 AD＝2 时，求△BEF 的周长；

(2)当点 E 在 BA 延长线上时，判断 EF，AE，CF 三者的数量关系，并说明理由．

Answer

探究：证明见解析；应用：(1)△BEF 的周长为4；(2)EF＝CF﹣AE，理由见解析.

【解析】

探究：作辅助线，构建全等三角形，证明△DAG≌△DCF（SAS），得∠1=∠3，DG=DF，再证明△GDE≌△FDE（SAS），根据EG的长可得结论；
应用：
（1）利用探究的结论计算三角形周长为4；
（2）分两种情况：①点E在BA的延长线上时，EF=CF-AE，②当点E在AB的延长线上时， EF=AE-CF，两种情况都是作辅助线，构建全等三角形，证明两三角形全等得线段相等，根据线段的和与差得出结论．

探究：

如下图：延长 BA 到 G，使 AG＝CF，连接 GD，

∵四边形 ABCD 为正方形，∴DA＝DC，∠DAG＝∠DCF＝90°，

∴△DAG≌△DCF（SAS），

∴∠1＝∠3，DG＝DF，

∵∠DAC＝90°，∠EDF＝45°，

∴∠EDG＝∠1+∠2＝∠3+∠2＝45°＝∠EDF，

∵DE＝DE，

∴△GDE≌△FDE（SAS），

∴EF＝EG＝AG+AE＝AE+CF；

应用：

(1)△BEF 的周长＝BE+BF+EF，

由探究得：△BEF 的周长＝BE+BF+EF＝AB+BC＝2+2＝4，

(2)点 E 在 BA 的延长线上时，如下图：

EF＝CF﹣AE，理由是：

在 CB 上取 CG＝AE，连接 DG，

∵∠DAE＝∠DCG＝90°，AD＝DC，

∴△DAE≌△DCG（SAS），

∴DE＝DG，∠EDA＝∠GDC，

∵∠ADC＝90°，∠EDG＝90°，

∴∠EDF+∠FDG＝90°，

∵∠EDF＝45°，

∴∠FDG＝90°﹣45°＝45°， 在△EDF 和△GDF 中，

DE＝DG，∠EDF＝∠GDF，DF＝DF，∴△EDF≌△GDF（SAS），

∴FE＝FG，

∴EF＝CF﹣CG＝CF﹣AE．