Question

已知，在正方形 ABCD 中，AB＝5，点 F 是边 DC 上的一个动点，将△ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°至△ABE，点 F 的对应点 E 落在 CB 的延长线上，连接 EF．

(1)如图 1，求证：∠DAF+∠FEC＝∠AEF；

(2)将△ADF 沿 AF 翻折至△AGF，连接 EG．

①如图 2，若 DF＝2，求 EG 的长；

②如图 3，连接 BD 交 EF 于点 Q，连接 GQ，则 S△QEG 的最大值为     ．

Answer

(1)证明见解析；(2)①EG＝；②.

【解析】

（1）由∠DAF+∠EAF+∠AEF+∠FEC＝180°，∠DAF+∠FEC＝45°，可推出结果；

（2）①连接 BF, 证出△AEG≌△AFB（SAS），即可根据勾股定理求出EG；②作 FH⊥CD 交 BD 于 H，QM⊥BC 于 M，连接 BF，BG，设BF 交 EG 于点 O，证出△EFG≌△FEB（SSS），设 DF＝EB＝x，再证出△FHQ≌△EBQ（AAS），列出含x的面积公式，利用二次函数配方即可得到最大值.

证明：如图 1 中，

∵四边形 ABCD 是正方形，

∴AD∥BC，∴∠DAE+∠AEC＝180°，

∵△ABE 是由△ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°得到，

∴∠EAF＝90°，AE＝AF，

∴∠AEF＝45°，

∴∠DAF+∠EAF+∠AEF+∠FEC＝180°，

∴∠DAF+∠FEC＝45°，

∴∠DAF+∠FEC＝∠AEF．

①如图 2 中，连接 BF．

∵四边形 ABCD 是正方形，

∴AB＝BC＝CD＝5，∠C＝90°，

∵DF＝2，

∴CF＝3，

∵∠DAF＝∠FAG＝∠BAE，

∴∠EAG＝∠FAB，

∵AE＝AF，AG＝AB，

∴△AEG≌△AFB（SAS），

∴EG＝BF，

在 Rt△BCF 中，BF＝＝，

∴EG＝BF＝ ．

②如图 3 中，作 FH⊥CD 交 BD 于 H，QM⊥BC 于 M，连接 BF，BG，设

BF 交 EG 于点 O．

∵EG＝BF，BF＝FB，FG＝EB，

∴△EFG≌△FEB（SSS），

∴∠GEF＝∠EFB，

同法可证∠FBG＝∠EGB，

∵∠EOF＝∠BOG，

∴∠EFB＝∠FBG，

∴EF∥BG，

∴S△EQG＝S△EBQ，设 DF＝EB＝x，则 CF＝5﹣x，

∵FH∥BE，FH＝DF＝EB，

∴∠FHQ＝∠EBQ，

∵∠HQF＝∠EQB，

∴△FHQ≌△EBQ（AAS），

∴FQ＝EQ，

∵QM∥CF，

∴EM＝MC，

∴QM＝CF＝（5﹣x），

∴S△EQG＝S△E BQ＝•x• （5﹣x）＝﹣ （x2﹣5x）＝﹣ （x﹣ ）2+ ，

∵﹣＜0，

∴x＝ 时，△EQG 的面积最大，最大值为， 故答案为．