Question

如图，点P是正方形ABCD边AB上一点(不与点A，B重合)，连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE， PE交边BC于点F．连接BE、DF.

（1）求证：∠ADP=∠EPB；

（2）求∠CBE的度数；

（3）当的值等于多少时．△PFD∽△BFP？并说明理由．

Answer

（1）证明见解析（2）45°（3）见解析

【解析】

（1）根据∠ADP与∠EPB都是∠APD的余角，根据同角的余角相等，即可求证；

（2）首先证得△PAD≌△EQP，可以证得△BEQ是等腰直角三角形，可以证得∠EBQ=45°，即可证得∠CBE=45°；

（3）这两个三角形是直角三角形，若相似，则对应边的比相等，即可求得的值．

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形．

∴∠A=∠PBC=90°，AB=AD，

∴∠ADP+∠APD=90°，

∵∠DPE=90°，

∴∠APD+∠EPB=90°，

∴∠ADP=∠EPB；

（2）【解析】
过点E作EQ⊥AB交AB的延长线于点Q，则∠EQP=∠A=90°，

又∵∠ADP=∠EPB，PD=PE，

∴△PAD≌△EQP，

∴EQ=AP，AD=AB=PQ，

∴AP=EQ=BQ，

∴∠CBE=∠EBQ=45°；

（3）．

理由：∵△PFD∽△BFP，

∴,

∵∠ADP=∠EPB，∠CBP=∠A

∴△DAP∽△PBF

∴，

∴PA=PB

∴当时，△PFD∽△BFP．