Question

如图，扇形AOD中，∠AOD=90°，OA=6，点P为弧AD上任意一点（不与点A和D重合），PQ⊥OD于点Q，点I为△OPQ的内心，过O、I和D三点的圆的半径为r，则当点P在弧AD上运动时，求r的值．

Answer

r的值为3．

【解析】

连OI，PI，DI，由△OPH的内心为I，可得到∠PIO=180°-∠IPO-∠IOP=180°-

（∠HOP+∠OPH）=135°，并且易证△OPI≌△ODI，得到∠DIO=∠PIO=135°，所以点I在以OD为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过D、I、O三点作⊙O′，如图，连O′D，O′O，在优弧AO取点P′，连P′D，P′O，可得∠DP′O=180°-135°=45°，得∠DO′O=90°，O′O=3 ．

【解析】
如图，连OI，PI，DI，

∵△OPH的内心为I，

∴∠IOP=∠IOD，∠IPO=∠IPH，

∴∠PIO=180°﹣∠IPO﹣∠IOP=180°﹣（∠HOP+∠OPH），

而PH⊥OD，即∠PHO=90°，

∴∠PIO=180°﹣（∠HOP+∠OPH）=180°﹣（180°﹣90°）=135°，

在△OPI和△ODI中，

，

∴△OPI≌△ODI（SAS），

∴∠DIO=∠PIO=135°，

所以点I在以OD为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；

过D、I、O三点作⊙O′，如图，连O′D，O′O，

在优弧DO取点P′，连P′D，P′O，

∵∠DIO=135°，

∴∠DP′O=180°﹣135°=45°，

∴∠DO′O=90°，而OD=6，

∴OO′=DO′=3，

∴r的值为3．