Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB=10（AB＞AD），AD与BC之间的距离为6，点E在线段AB上移动，以E为圆心，AE长为半径作⊙E．

（1）如图1，若E是AB的中点，求⊙E在AD所在的直线上截得的弦长；

（2）如图2，若⊙E与BC所在的直线相切，求AE的长．

Answer

（1）AF=8；（2）AE=．

【解析】

（1）设AD和圆相交于F，连接BF，由圆周角定理可得BF⊥AD，所以BF=8，根据勾股定理即可求出AF的长；
（2）过点B作BM⊥AD于点M，连接EF．利用平行线AD∥CB的性质推知内错角∠DAB=∠ABM；然后在Rt△ABM和Rt△BEG中根据三角函数的定义求得比例式，利用比例的性质即可求得AE的值．

【解析】
（1）设AD和圆相交于F，连接BF，

∵AB是圆的直径，

∴∠AFB=90°，

∴BF⊥AD，

∵AD与BC之间的距离为6，

∴BF=6，

∴AB=10，

∴AF==8；

（2）过点B作BM⊥AD于点M，连接EG．

∵AD与BC之间的距离为6，

∴BM=6；

∴sin∠DAB==；

又∵CG是⊙E的切线，

∴EG⊥CG，

∴cos∠BEG=；

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC（平行四边形的对边相互平行），

∴∠DAB=∠ABG（两直线平行，内错角相等）；

∵AE=EG（⊙E的半径），

∴

即，

∴AE=．