Question

如图，已知锐角△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D．

（1）求证：∠ACB+∠BAD=90°；

（2）过点D作DE⊥AB于E，若∠ADC=2∠ACB，AC=4，求DE的长．

Answer

（1）见解析；（2）2.

【解析】

（1）如图1中，延长AD交⊙O于点F，连接BF．首先证明∠ABF=90°，再证明∠AFB=∠C即可解决问题．

（2）如图2中，过点O作OH⊥AC于H，连接BO．想办法证明△BDE≌△AOH即可解决问题.

（1）证明：延长AD交⊙O于点F，连接BF．

∵AF为⊙O的直径，

∴∠ABF=90°，

∴∠AFB+∠BAD=90°，

∵∠AFB=∠ACB，

∴∠ACB+∠BAD=90°．

（2）证明：如图2中，过点O作OH⊥AC于H，连接BO．

∵∠AOB=2∠ACB，

∠ADC=2∠ACB，

∴∠AOB=∠ADC，

∴∠BOD=∠BDO，

∴BD=BO，

∴BD=OA，

∵∠BED=∠AHO，∠ABD=∠AOH，

∴△BDE≌△AOH，（AAS），

∴DE=AH，

∵OH⊥AC，

∴AH=CH=AC，

∴AC=2DE=4，

∴DE=2．