Question

如图，已知抛物线过点A（4，0），B（﹣2，0），C（0，﹣4）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，点M是抛物线AC段上的一个动点，当图中阴影部分的面积最小值时，求点M的坐标．

Answer

（1）y＝x2﹣x﹣4（2）当x＝2时，△ACM的面积最大，图中阴影部分的面积最小值，此时M点坐标为（2，﹣4）

【解析】

根据A、B点的坐标特点设函数解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），然后将C点坐标代入即可求；

连接AC,设M点坐标为（x， x2﹣x﹣4），利用x表示出S△ACM，然后转化成函数解析式即可求解.

（1）设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），

把C（0，﹣4）代入得a•2•（﹣4）＝﹣4，

解得a＝，

∴抛物线解析式为y＝（x+2）（x﹣4），

即y＝x2﹣x﹣4；

（2）连接AC，则AC与抛物线所围成的图形的面积为定值，

当△ACM的面积最大时，图中阴影部分的面积最小值，

作MN∥y轴交AC于N，如图甲，

设M（x， x2﹣x﹣4），

由A（4，0），C（0，﹣4）知线段AC所在直线解析式为y＝x﹣4，

则N（x，x﹣4），

∴MN＝x﹣4﹣（x2﹣x﹣4）＝﹣x2+2x，

∴S△ACM＝S△MNC+S△MNA＝•4•MN＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，

当x＝2时，△ACM的面积最大，图中阴影部分的面积最小值，

此时M点坐标为（2，﹣4）．