Question

在平面直角坐标系中，已知抛物线y₁＝x²﹣4x+4的顶点为A，直线y₂＝kx﹣2k（k≠0），

（1）试说明直线是否经过抛物线顶点A；

（2）若直线y₂交抛物线于点B，且△OAB面积为1时，求B点坐标；

（3）过x轴上的一点M（t，0）（0≤t≤2），作x轴的垂线，分别交y₁，y₂的图象于点P，Q，判断下列说法是否正确，并说明理由：

①当k＞0时，存在实数t（0≤t≤2）使得PQ＝3．

②当﹣2＜k＜﹣0.5时，不存在满足条件的t（0≤t≤2）使得PQ＝3．

Answer

（1）直线经过A点；（2）B（1,1）或B（3,1）；（3）①正确，②正确.

【解析】

（1）将抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点A的坐标, 将点A的坐标代入直线的解析式判断即可；

（2） △OAB面积为1时，根据三角形的面积公式，求出点B的纵坐标，代入抛物线的解析式即可求出点B的横坐标，即可求解.
（3）①点M（t，0），则点P（t，t2﹣4t+4），点Q（t，kt﹣2k），若k＞0：当0≤t≤2时，P在Q点上方时，整理得t2﹣（4+k）t+（1+2k）=0，求出△=b2﹣4ac=（4+k）2﹣4（1+2k）=k2+12＞0,此方程有解，则存在实数t（0≤t≤2）使得PQ=3.

②分当 P在Q点下方，当P在Q点上方时，两种情况进行分类讨论.

（1）

顶点A（2,0）

当x=2时，由2k-2k=0，

∴直线经过A点.

（2）

△OAB面积为1时，

令

解得：

即点B的坐标为：B（1,1）或B（3,1）,

（3）∵点M（t，0），

∴点P（t，t2﹣4t+4），点Q（t，kt﹣2k），

①若k＞0：当0≤t≤2时，P在Q点上方时，∵PQ=3

∴t2﹣（4+k）t+（4+2k）=3

整理得t2﹣（4+k）t+（1+2k）=0

∵△=b2﹣4ac=（4+k）2﹣4（1+2k）=k2+12＞0,此方程有解

∴①正确．

②若k＜0:

1）当 P在Q点下方，

∴t2﹣（4+k）t+（4+2k）=﹣3

∴t2﹣（4+k）t+7+2k=0

∵△=b2﹣4ac=（4+k）2﹣4（7+2k）=k2﹣12

∴当存在PQ=3时，k2﹣12≥0

∴k≤或k≥（舍去）

∴当﹣2＜k＜﹣0.5时，不存在满足条件的t，

2)当P在Q点上方时，

∴t2﹣（4+k）t+（4+2k）=3

∵△=k2+12＞0,此方程有解

又∵ ∴有一正一负两根

∴正根>2

∴在[0,2]上不存在满足条件的t，

∴②正确-