Question

已知，抛物线y＝ax²+2ax+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3OB．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当a＞0时，如图所示，若点D是第三象限方抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，三角形ADC的面积为S，求出S与m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；请问当m为何值时，S有最大值？最大值是多少．

Answer

(1) y=﹣x2﹣2x+3或y=x2+2x﹣3;(2) S=﹣（m2+3m）（﹣3＜m＜0）;当m=﹣时，S取最大值，最大值为.

【解析】

（1）根据点B的坐标及OC=3OB可得出点C的坐标，再根据点B、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）过点D作DE⊥x轴，交AC于点E，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A、C的坐标，进而即可得出线段AC所在直线的解析式，由点D的横坐标可找出点D、E的坐标，再利用三角形的面积公式即可得出S与m的函数关系式，利用配方法可找出S的最大值．

（1）∵点B的坐标为（1，0），OC=3OB，

∴点C的坐标为（0，3）或（0，﹣3），

将点B（1，0）、C（0，3）或（0，﹣3）代入y=ax2+2ax+c，

或

解得： 或，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3或y=x2+2x﹣3．

（2）过点D作DE⊥x轴，交AC于点E，如图所示．

∵a＞0，

∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3，

∴点C的坐标为（0，﹣3）．

当y=0时，有x2+2x﹣3=0，

解得：x1=﹣3，x2=1，

∴点A的坐标为（﹣3，0），

利用待定系数法可求出线段AC所在直线的解析式为y=﹣x﹣3．

∵点D的横坐标为m，

∴点D的坐标为（m，m2+2m﹣3），点E的坐标为（m，﹣m﹣3），

∴DE=﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）=﹣m2﹣3m，

∴S=DE×|﹣3﹣0|=﹣（m2+3m）（﹣3＜m＜0）．

∵﹣＜0，且S=﹣（m2+3m）=﹣（m+）2+，

∴当m=﹣时，S取最大值，最大值为．