Question

如图，已知二次函数y＝ax²+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，3）

（1）求这个二次函数的表达式并直接写出顶点坐标；

（2）若P是第一象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．设点P的横坐标为t

①求线段PM的最大值；

②S_△PBM：S_△MHB＝1：2时，求t值；

③当△PCM是等腰三角形时，直接写点P的坐标．

Answer

（1）（1，4）（2）①②③当△PCM是等腰三角形时，点P的坐标为（2，3）或（3﹣，﹣2+4）或（1，4）．

【解析】

设函数表达式为y＝ax2+bx+c，将A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）代入即可求；

①先求直线BC的表达式，再设点P的横坐标为t，然后将PM的长表示成函数顶点式即可求;

②将S△PBM：S△MHB＝1：2转化成底之比MH＝2PM，再利用P、M的坐标，列出等式，求得两个值，再经化简即可得；

③分三种情况PC=PM、PC=CM、PM=CM求得t的值，再检验，即可得.

（1）将A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，得：

，解得，

∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3．

∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴二次函数图象的顶点坐标为（1，4）．

（2）①设直线BC的表达式为y＝mx+n（m≠0），

将B（3，0），C（0，3）代入y＝mx+n，得：

，解得：，

∴直线BC的表达式为y＝﹣x+3．

∵点P的横坐标为t（0＜t＜3），

∴点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），点M的坐标为（t，﹣t+3），

∴PM＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣）2+，

∴线段PM的最大值为．

②∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），点M的坐标为（t，﹣t+3），

∴点H的坐标为（t，0），

∴PM＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，MH＝﹣t+3．

∵△PBM和△MHB等高，S△PBM：S△MHB＝1：2，

∴MH＝2PM，即﹣t+3＝﹣2t2+6t，

解得：t1＝，t2＝3（不合题意，舍去），

∴当S△PBM：S△MHB＝1：2时，t的值为．

③∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），点M的坐标为（t，﹣t+3），点C的坐标为（0，3），

∴PM＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，CM＝，PC＝．

当PM＝PC时，有﹣t2+3t＝，

∵0＜t＜3，

∴原方程可整理为：2t﹣4＝0，

解得：t＝2，

∴点P的坐标为（2，3）；

当PM＝CM时，有﹣t2+3t＝t，

解得：t1＝0（舍去），t2＝3﹣，

∴点P的坐标为（3﹣，﹣2+4）；

当CM＝PC时，有t＝，

∵0＜t＜3，

∴原方程可整理为：t2﹣4t+3＝0，

解得：t1＝1，t2＝3（舍去），

∴点P的坐标为（1，4）．

综上所述：当△PCM是等腰三角形时，点P的坐标为（2，3）或（3﹣，﹣2+4）或（1，4）．