Question

将长为 1，宽为 a 的长方形纸片(0.5<a<1)如图折叠，剪下一个边长等于长方形的宽度的正方形(称为第一次操作)；再把剩下的长方形如图折叠，剪下一个边长等于此时长方形宽度的正方形 (称为第二次操作)；如此反复操作下去，如此反复下去，若在第 n 次操作后剩下的长方形恰好为正方形，则操作终止.

（1）第一次操作后，剩下的长方形两边长分别为     ；(用含 a 的代数式表示)

（2）若第二次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，则求 a 的值，写出解答过程；

（3）若第三次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，画出示意图形，直接写出 a 的值.

Answer

（1）a 和 1-a；（2）a=；（3）图详见解析，a=或 a= ．

【解析】

（1）经过第一次操作可知剩下的长方形一边长为a，另一边长为1﹣a；

（2）若第二次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，则第一次操作后剩下的长方形的长为宽的2倍，由此可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论；

（3）若第三次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，则第二次操作后剩下的长方形的长为宽的2倍，由此可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．

（1）第一次操作后，剩下的长方形两边长分别为a，（1﹣a）．

故答案为：a和1﹣a．

（2）若第二次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，则a＝2（1﹣a）或2a＝1﹣a，解得：a或a（舍去）．

（3）若第三次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，如图所示，则1﹣a＝2（2a﹣1）或2（1﹣a）＝2a﹣1，解得：a或a．