Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD是△ABC的角平分线.

（1）如图1，若AD=BD，求∠A的度数；

（2）如图2，在（1）的条件下，作DE⊥AB于E，连接EC.求证：△EBC是等边三角形.

Answer

(1) 30°;(2)见解析.

【解析】

（1）根据题意易证∠A=∠DBA=∠DBC，然后利用三角形的内角和进行求解即可；

（2）根据等腰三角形的性质可得AE=BE，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得CE=BE，然后根据等边三角形的判定即可得证.

（1）【解析】
∵AD=BD，

∴∠A=∠DBA，

∵∠DBA=∠DBC，

∴∠A=∠DBA=∠DBC，

∵∠ACB=90°，

∴∠A+∠DBA+∠DBC=90°，

∴∠A=30°；

（2）证明：∵AD=BD，DE⊥AB，

∴AE=BE，

∴CE=BE，

∵∠A=30°，

∴∠EBC=60°，

∴△EBC是等边三角形.