Question

如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒．

（1）求直线AB的解析式；

（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？

（3）当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位？

Answer

（1）;（2）当t为秒或秒时,△APQ与△AOB相似;（3）当t=2秒或t=3秒时，△APQ的面积为个平方单位.

【解析】

(1)设直线AB的解析式为,解得k,b即可;
(2)由AO=6,BO=8得AB=10

①当∠PAQ=∠AOB 时,△APQ∽△AOB.利用其对应边成比例解t.

②当∠AQP=∠AOB 时,△AQP∽△AOB.利用其对应边成比例解得t.

(3)过点Q作QE垂直AO于点E.在Rt△AEQ中，

QE=AQsin∠BAO=（10-2t）=8-,再利用三角形面积解得t即可.

解:(1)设直线AB的解析式为
由题意,得,
解得
所以,直线AB的解析式为

(2)由AO=6,BO=8得AB=10,
所以AP=t, AQ=10-2t,
①当∠PAQ=∠AOB 时,△APQ∽△AOB.
所以,
解得(秒),
②当∠AQP=∠AOB 时,△AQP∽△AOB.
所以,
解得(秒),

∴当t为秒或秒时，△AQP与△AOB相似.
(3)过点Q作QE垂直AO于点E.

在Rt△AOB中，

sin∠BAO=

在Rt△AEQ中，

QE=AQsin∠BAO=（10-2t）=8-,

S△APQ=APQE=t8-=-t2+4t=

解得，t=2（秒）或t=3（秒）

∴当t=2秒或t=3秒时，△APQ的面积为个平方单位.