Question

将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中△ABC为含有45°角的三角板，直线AD是等腰直角三角板的对称轴，且斜边上的点D为另一块三角板DMN的直角顶点，DM、DN分别交AB、AC于点E、F．则下列四个结论：①BD＝AD＝CD；②△AED≌△CFD；③BE+CF＝EF；④S_{四边形AEDF}＝BC²．其中正确结论是_____（填序号）．

Answer

①②

【解析】

根据等腰直角三角形的性质可得AD=CD=BD，∠CAD=∠B=45°，故①正确；根据同角的余角相等求出∠CDF=∠ADE，然后利用“ASA”证明△ADE≌△CDF，判断出②，根据全等三角形的对应边相等，可得DE=DF=AF=AE，利用三角形的任意两边之和大于第三边，可得BE+CF＞EF，判断出③，根据全等三角形的面积相等，可得S△ADF=S△BDE，从而求出四边形AEDF的面积，判断出④.

∵∠B=45°，AB=AC

∴点D为BC的中点，

∴AD=CD=BD

故①正确；

由AD⊥BC，∠BAD=45°

可得∠EAD=∠C

∵∠MDN是直角

∴∠ADF+∠ADE=∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°

∴∠ADE=∠CDF

∴△ADE≌△CDF（ASA）

故②正确；

∴DE=DF，AE=CF，

∴AF=BE

∴BE+AE=AF+AE

∴AE+AF＞EF

故③不正确；

由△ADE≌△CDF可得S△ADF=S△BDE

∴S四边形AEDF=S△ACD=×AD×CD=×BC×BC=BC2，

故④不正确.

故答案为：①②.