Question

如图，在 Rt△POQ中，OP=OQ=4，M 是 PQ中点，把一个三角尺顶点放在点M处，以M为旋转心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与 Rt△POQ的两直角边分别交于点A、B．

（1）求证：MA=MB；

（2）探究：在旋转三角尺的过程中，四边形AOBM的面积是否发生变化？为什么？

（3）连接 AB，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值．

Answer

（1）见解析；（2）四边形 AOBM 的面积没有发生变化， 理由见解析；（3）当 x=2 时，△AOB 的周长有最小值，最小值为=4+2．

【解析】

（1）过点 M 作 ME⊥OP 于点 E，作 MF⊥OQ 于点 F，根据正方形的判定定理得到四边形 OEMF 是正方形，证明△AME≌△BMF，根据全等三角形的性质解答；

（2）根据全等三角形的性质得到四边形 AOBM 的面积=正方形 EOFM 的面积；

（3）根据全等三角形的性质得到得到 AE=BF，设 OA=x，根据勾股定理得到AB=，根据三角形的周长公式，二次函数的性质解答．

（1）过点 M 作 ME⊥OP 于点 E，作 MF⊥OQ 于点 F，

∵∠O=90°，∠MEO=90°，∠OFM=90°，

∴四边形 OEMF 是矩形，

∵M 是 PQ 的中点，OP=OQ=4，

∴ME=OQ=2，MF=OP=2，

∴ME=MF，

∴四边形 OEMF 是正方形，

∵∠AME+∠AMF=90°，∠BMF+∠AMF=90°，

∴∠AME=∠BMF，

在△AME 和△BMF 中，

∴△AME≌△BMF（ASA），

∴MA=MB；

（2）四边形 AOBM 的面积没有发生变化， 理由如下：∵△AME≌△BMF，

∴四边形 AOBM 的面积=正方形 EOFM 的面积=4；

（3）∵△AME≌△BMF，

∴AE=BF，

设 OA=x，则 AE=2﹣x，

∴OB=OF+BF=2+（2﹣x）=4﹣x，

在 Rt△AME 中，AM== ，

∵∠AMB=90°，MA=MB，

∴AB=AM= ，

△AOB 的周长=OA+OB+AB

=x+（4﹣x）+

=4+，

则当 x=2 时，△AOB 的周长有最小值，最小值为=4+2．