Question

已知抛物线的表达式是y=ax²+（1﹣a）x+1﹣2a（a为不等于0的常数），上述抛物线无论a为何值始终经过定点A和定点B；A为x轴上的点，B为第一象限内的点．

（1）请写出A，B两点的坐标：A（　   　，0）；B（　   　，　   　）；

（2）如图1，当抛物线与x轴只有一个公共点时，求a的值；

（3）如图2，当a＜0时，若上述抛物线顶点是D，与x轴的另一交点为点C，且点A，B，C，D中没有两个点相互重合．

求：①△ABC能否是直角三角形，为什么？

②若使得△ABD是直角三角形，请你求出a的值．（求出1个a的值即可）

Answer

（1）﹣1，2，3；（2）a=；（3）①a=﹣；②a=﹣1．

【解析】

（1）y=ax2+（1-a）x+1-2a=a（x2-x-2）+x+1，当（x2-x-2）=0时，无论a为何值始终经过定点A和定点B，即可求解；

（2）当抛物线与x轴只有一个公共点时，△=0，即可求解；

（3）①A（-1，0），设C（x，0），AB所在的直线的k1值为1，BC所在的直线的k2值为：=3a，当k1•k2=-1即可求解；②设：∠ABD=90°，设：D（m，n），而，韦达定理得：m•2=-，则m=-，由y=ax2+（1-a）x+1-2a知，m=，即：-=，即可求解．

【解析】
（1）y=ax2+（1﹣a）x+1﹣2a=a（x2﹣x﹣2）+x+1，

当（x2﹣x﹣2）=0时，无论a为何值始终经过定点A和定点B，

则x=﹣1或2，则A（﹣1，0）、B（2，3）；

故：答案是﹣1，2，3；

（2）当抛物线与x轴只有一个公共点时，△=0，

即：（1﹣a）2﹣2a（1﹣2a）=0，解得：a=；

（3）①A（﹣1，0），设C（x，0），

由韦达定理：﹣1•x=，则C（，0），

AB所在的直线的k1值为1，

BC所在的直线的k2值为： =3a，

当k1•k2=﹣1时，AB⊥BC，解得：a=﹣；

②设：∠ABD=90°，

则直线BD所在直线方程的k=﹣1，其直线方程为：y=﹣x+5，

将直线BD所在的方程与二次函数联立得：

ax2+（2﹣a）x﹣（4+2a）=0，

设：D（m，n），而B（2，3）

由韦达定理得：m•2=﹣，则m=﹣，

由y=ax2+（1﹣a）x+1﹣2a知，m=，

即：﹣=，

解得：a=﹣1．