Question

已知反比例函数y=（k为常数，k≠1）．

（1）其图象与正比例函数y=x的图象的一个交点为P，若点P的纵坐标是2，求k的值；

（2）若在其图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围；

（3）若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点A（x₁、x₂）、B（x₂、y₂），当y₁＞y₂时，试比较x₁与x₂的大小；

（4）若在其图象上任取一点，向x轴和y轴作垂线，若所得矩形面积为6，求k的值．

Answer

（1）k=5；（2）k＞1；（3）x1＞x2；（4）k=±6．

【解析】

（1）设点P的坐标为（m，2），由点P在正比例函数y＝x的图象上可求出m的值，进而得出P点坐标，再根据点P在反比例函数y的图象上，即可求出k的值；

（2）由于在反比例函数y图象的每一支上，y随x的增大而减小，故k﹣1＞0，求出k的取值范围即可；

（3）反比例函数y图象的一支位于第二象限，故在该函数图象的每一支上，y随x的增大而增大，所以A（x1，y1）与点B（x2，y2）在该函数的第二象限的图象上，且y1＞y2，故可知x1＞x2；

（4）根据k的几何意义即可得出结论．

（1）由题意，设点P的坐标为（m，2）．

∵点P在正比例函数y=x的图象上，∴2=m，即m=2．

∴点P的坐标为（2，2）．

∵点P在反比例函数y=的图象上，∴2=，解得：k=5．

（2）∵在反比例函数y=图象的每一支上，y随x的增大而减小，∴k﹣1＞0，解得：k＞1．

（3）∵反比例函数y=图象的一支位于第二象限，∴在该函数图象的每一支上，y随x的增大而增大．

∵点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在该函数的第二象限的图象上，且y1＞y2 ，∴x1＞x2．

（4）∵在其图象上任取一点，向两坐标轴作垂线，得到的矩形为6，∴|k|=6，解得：k=±6．