Question

如图，⨀O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⨀O于点D.

（1）求∠ADC的度数；   

（2）求弦BD的长.

Answer

（1）∠ADC=30°；（2）

【解析】

（1）根据直径所对的圆周角为直角可得在∠ACB=∠ADB=90°. Rt△ABC中，cos∠BAC= ，即可求得∠BAC=60°，  根据直角三角形的两锐角互余可得∠ABC=30°，最后由同弧所对的圆周角相等即可得∠ADC= ∠ABC=30°；（2）已知CD平分∠ACB，根据角平分线的定义可得∠ACD=∠BCD，由同弧所对的圆周角相等即可得∠DAB=∠DBA,所以AD=BD，在Rt△ABD中，根据求BD的长即可.

（1）  ∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=∠ADB=90°.   

在Rt△ABC中，

∵cos∠BAC=,

∴∠BAC=60°，  

∴∠ABC=30°，

∴∠ADC= ∠ABC=30°；

（2）∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠BCD，

∴∠DAB=∠DBA，

∴AD=BD，

∴∠BAD=∠ABD=45°.

在Rt△ABD中，BD=.