Question

如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，O 点在 BC 边上，∠BAC 的平分线交⊙O 于点 D，连接 BD、CD，过点 D 作 BC 的平行线，与 AB 的延长线相交于点 P．

（1）求证：PD 是⊙O 的切线；

（2）求证：△PBD∽△DCA．

Answer

（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）由直径所对的圆周角为直角得到∠BAC为直角，再由AD为角平分线，得到一对角相等，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍及等量代换确定出∠DOC为直角，与平行线中的一条垂直，与另一条也垂直得到OD与PD垂直，即可得证；
（2）由PD与BC平行，得到一对同位角相等，再由同弧所对的圆周角相等及等量代换得到∠P=∠ACD，根据同角的补角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证；

证明：（1）∵圆心O在BC上，

∴BC是圆O的直径，

∴∠BAC=90°，

连接OD，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAC=2∠DAC，

∵∠DOC=2∠DAC，

∴∠DOC=∠BAC=90°，即OD⊥BC，

∵PD∥BC，

∴OD⊥PD，

∵OD为圆O的半径，

∴PD是圆O的切线；

（2）∵PD∥BC，

∴∠P=∠ABC，

∵∠ABC=∠ADC，

∴∠P=∠ADC，

∵∠PBD+∠ABD=180°，∠ACD+∠ABD=180°，

∴∠PBD=∠ACD，

∴△PBD∽△DCA．