Question

如图，直线y=2x+m(m>0)与x轴交于点A(-2，0)，直线y=-x+n(n>0)与x轴、y轴分别交于B、C两点，并与直线y=2x+m(m>0)相交于点D，若AB=4．

（1）求点D的坐标；

（2）求出四边形AOCD的面积；

（3）若E为x轴上一点，且△ACE为等腰三角形，直接写出点E的坐标．

Answer

（1）D点坐标为（， ）；（2）；（3）点E的坐标为（2-2，0）、（-2-2，0）、（2，0）、（0，0）．

【解析】试题（1）先把A点坐标代入y=2x+m得到m=4，则y=-2x+4，再利用AB=4可得到B点坐标为（2，0），则把B点坐标代入y=-x+n可得到n=2，则y=-x+2，然后根据两直线相交的问题，通过解方程组得到D点坐标；
（2）先确定C点坐标为（0，2），然后利用四边形AOCD的面积=S△DAB-S△COB进行计算即可；
（3）先利用A、C两点的坐标特征得到△ACO为等腰直角三角形，AC=2，然后分类讨论：当AE=AC=2时，以A点为圆心，以2画弧交x轴于E1点和E2点，再写出它们的坐标；当CE=CA时，E3点与点A关于y轴对称，即可得到它的坐标；当EA=EC时，E4点为坐标原点．

试题解析：

（1）把A（-2，0）代入y=2x+m得-4+m=0，解得m=4，

∴y=-2x+4，

∵AB=4，A（-2，0），

∴B点坐标为（2，0），

把B（2，0）代入y=-x+n得-2+n=0，解得n=2，

∴y=-x+2，

解方程组，得，

∴D点坐标为（， ）；

（2）当x=0时，y=-x+2=2，

∴C点坐标为（0，2），

∴四边形AOCD的面积=S△DAB-S△COB=×4×-×2×2=；

（3）如图所示，

∵A（-2，0），C（0，2），

∴AC=2，

当AE=AC=2时，E1点的坐标为（2-2，0），E2点的坐标为（-2-2，0）；

当CE=CA时，E3点的坐标为（2，0），

当EA=EC时，E4点的坐标为（0，0），

综上所述，点E的坐标为（2-2，0）、（-2-2，0）、（2，0）、（0，0）．