Question

已知，如图1，正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在边AB、AD的延长线上，且BE=DF，连接EF．

（1）证明：EF⊥AC；

（2）将△AEF绕点A顺时针方向旋转，当旋转角α满足0°＜α＜45°时，设EF与射线AB交于点G，与AC交于点H，如图所示，试判断线段FH、HG、GE的数量关系，并说明理由．

（3）若将△AEF绕点A旋转一周，连接DF、BE，并延长EB交直线DF于点P，连接PC，试说明点P的运动路径并求线段PC的取值范围．

Answer

（1）证明见解析；（2）FH2+GE2=HG2，理由见解析；（3）0≤PC≤5．

【解析】

（1）先证明AE=AF，根据等腰三角形三线合一的性质可得结论；

（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，先证明△AGH≌△AGK，得GH=GK，由△AFH≌△AEK，得∠AEK=∠AFH=45°，FH=EK，利用勾股定理得：KG2=EG2+EK2，根据相等关系线段等量代换可得结论：FH2+GE2=HG2；

（3）如图3，先证明∠FPE=∠FAE=90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径可得：点P的运动路径是：以BD为直径的圆，如图4，可得PC的取值范围．

（1）证明：如图1，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠DAC=∠BAC，

∵BE=DF，

∴AD+DF=AB+BE，即AF=AE，

∴AC⊥EF；

（2）【解析】
FH2+GE2=HG2，理由是：

如图2，过A作AK⊥AC，截取AK=AH，连接GK、EK，

∵∠CAB=45°，

∴∠CAB=∠KAB=45°，

∵AG=AG，

∴△AGH≌△AGK，

∴GH=GK，

由旋转得：∠FAE=90°，AF=AE，

∵∠HAE=90°，

∴∠FAH=∠KAE，

∴△AFH≌△AEK，

∴∠AEK=∠AFH=45°，FH=EK，

∵∠AEH=45°，

∴∠KEG=45°+45°=90°，

Rt△GKE中，KG2=EG2+EK2，

即：FH2+GE2=HG2；

（3）【解析】
如图3，

∵AD=AB，∠DAF=∠BAE，AE=AF，

∴△DAF≌△BAE，

∴∠DFA=∠BEA，

∵∠PNF=∠ANE，

∴∠FPE=∠FAE=90°，

∴将△AEF绕点A旋转一周，总存在直线EB与直线DF垂直，

∴点P的运动路径是：以BD为直径的圆，如图4，

当P与C重合时，PC最小，PC=0，

当P与A重合时，PC最大为5，

∴线段PC的取值范围是：0≤PC≤5．