Question

九年级学生小刚是一个喜欢看书的好学生，他在学习完第二十四章圆后，在家里突然看到爸爸的初中数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），非常好奇，仔细阅读原来就是：PA•PB=PC•PD，小刚很想知道是如何证明的，可异证明部分污损看不清了，只看到辅助线的做法，分别连结AC、BD．聪明的你一定能帮他证出，请在图1中做出辅助线，并写出详细的证明过程．

小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是⊙O弦，P是AB上一点，AB=10cm，PA=4cm，OP=5cm，求⊙O的半径，愁坏了小刚，乐于助人的你肯定会帮助他，请写出详细的证明过程．

Answer

（1）见解析；（2）⊙O的半径R为7．

【解析】

（1）连结AC，BD，根据圆周角定理得到∠C=∠B，∠A=∠D，再根据三角形相似的判定定理得到△APC∽△DPB，利用相似三角形的性质得AP：DP=CP：BP，变形有AP•BP=CP•DP；由此得到相交弦定理；
（2）由AB=10，PA=4，OP=5，易得PB=10-4=6，PC=OC-OP=R-5，PD=OD+OP=R+5，根据相交弦定理得到PA•PB=PC•PD，即4×6=（R-5）×（R+5），解方程即可得到R的值．

（1）圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．

已知，如图1，⊙O的两弦AB、CD相交于E，

求证：AP•BP=CP•DP．

证明如下：

连结AC，BD，如图1，

∵∠C=∠B，∠A=∠D，

∴△APC∽△DPB，

∴AP：DP=CP：BP，

∴AP•BP=CP•DP；

所以两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．

（2）过P作直径CD，如图2，

∵AB=10，PA=4，OP=5，

∴PB=10﹣4=6，PC=OC﹣OP=R﹣5，PD=OD+OP=R+5，

由（1）中结论得，PA•PB=PC•PD，

∴4×6=（R﹣5）×（R+5），

解得R=7（R=﹣7舍去）．

所以⊙O的半径R=7．