Question

如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，过点C的切线交BA的延长线于点D，CD=CB，CE∥AB交半圆于点E．

（1）求∠D的度数；

（2）求证：以点C，O，B，E为顶点的四边形是菱形．

 

Answer

（1）∠D=30°；（2）见解析.

【解析】

（1）连接AC，根据切线的性质以及等腰三角形的性质得出∠D=∠ACD=∠ABC，根据圆周角定理得出∠ACB=90°，然后根据三角形内角和定理即可求得∠D的度数；

（2）连接OC、BE，先证得△AOC是等边三角形，然后证得四边形COBE是平行四边形即可证得结论．

（1）【解析】
连接AC，

∵CD是⊙O的切线，

∴∠ACD=∠ABC，

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∵CD=CB，

∴∠D=∠ABC，

∴∠D=∠ACD=∠ABC，

∵∠D+∠ACD+∠ABC+∠ACB=90°，

∴∠D=30°；

（2）证明：连接OC、BE，

∵∠D=∠ACD=30°，

∴∠CAB=60°，

∵OA=OC，

∴△AOC是等边三角形，

∴AC=OC，∠AOC=60°，

∵CE∥AB，

∴AC=EB，

∴四边形ACEB是等腰梯形，OC=BE，

∴∠CAB=∠EBA=60°，

∴∠AOC=∠EBA=60°，

∴OC∥BE，

∴四边形COBE是平行四边形，

∵OC=OB，

∴以点C，O，B，E为顶点的四边形是菱形．