Question

如图，点D，E分别是不等边△ABC(即AB，BC，AC互不相等)的边AB，AC的中点．点O是△ABC所在平面上的动点，连接OB，OC，点G，F分别是OB，OC的中点，顺次连接点D，G，F，E.

(1)如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；

(2)若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？(直接写出答案，不需要说明理由)

Answer

（1）根据三角形的中位线定理可证得DE∥GF，DE＝GF，即可证得结论；

（2）解法一：点O的位置满足两个要求：AO＝BC，且点O不在射线CD、射线BE上．

解法二：点O在以A为圆心，BC为半径的一个圆上，但不包括射线CD、射线BE与⊙A的交点．

解法三：过点A作BC的平行线l，点O在以A为圆心，BC为半径的一个圆上，但不包括l与⊙A的两个交点．

【解析】

试题（1）根据三角形的中位线定理可证得DE∥GF，DE＝GF，即可证得结论；

（2）根据三角形的中位线定理结合菱形的判定方法分析即可.

（1）∵D、E分别是边AB、AC的中点．

∴DE∥BC，DE＝BC．

同理，GF∥BC，GF＝BC．

∴DE∥GF，DE＝GF．

∴四边形DEFG是平行四边形；

（2）解法一：点O的位置满足两个要求：AO＝BC，且点O不在射线CD、射线BE上．

解法二：点O在以A为圆心，BC为半径的一个圆上，但不包括射线CD、射线BE与⊙A的交点．

解法三：过点A作BC的平行线l，点O在以A为圆心，BC为半径的一个圆上，但不包括l与⊙A的两个交点．