Question

如图，已知△ABC，点A在BC边的上方，把△ABC绕点B逆时针方向旋转60°得△DBE，绕点C顺时针方向旋转60°得△FEC，连接AD，AF.

(1)△ABD，△ACF，△BCE是什么特殊三角形？请说明理由；

(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？请说明理由；

(3)当△ABC满足什么条件时，以点A，D，E，F为顶点的四边形不存在？请说明理由．

Answer

(1)△ABD，△ACF，△BCE都是等边三角形，理由见解析；(2)当∠BAC＝150°，且AB＝AC时，四边形ADEF是正方形，理由见解析；(3)当∠BAC＝60°时，以点A，D，E，F为顶点的四边形不存在，理由见解析.

【解析】

（1）△ABD、△ACF、△BCE都是等边三角形；

（2）当∠BAC=150°且AB=AC时，四边形ADEF是正方形，理由为：由旋转可知DE=AC，根据三角形ACF为等边三角形，得到AC=AF，等量代换得到DE=AF，同理得到EF=AD，利用两组对边相等的四边形为平行四边形得到AFED为平行四边形，若∠BAC=150°，利用周角定义求出∠DAF为直角，可得出平行四边形AFED为矩形，再由AB=AC，三角形ADB与三角形ACF都是等边三角形，得到AD=AF，矩形AFED为正方形，得证；

（3）当∠BAC=60°时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在，理由为：若∠BAC=60°，三角形ADB与三角形ACF都是等边三角形，利用周角定义求出∠DAF为平角，即D、A、E、F四点共线，即以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．

(1)△ABD，△ACF，△BCE都是等边三角形，

理由：由旋转可知：AB＝DB，∠ABD＝60°，

AC＝FC，∠ACF＝60°；BC＝BE，∠CBE＝60°，

∴△ABD，△ACF，△BCE都是等边三角形；

(2)当∠BAC＝150°，且AB＝AC时，四边形ADEF是正方形，

理由：∵△DBE是由△ABC绕点B旋转60°而得到的，∴DE＝AC，

由(1)知△ACF为等边三角形，

∴AC＝AF，∴DE＝AF，

同理可得EF＝AD，

∴四边形ADEF是平行四边形，

若∠BAC＝150°，则∠DAF＝360°－∠BAC－∠DAB－∠FAC＝360°－150°－60°－60°＝90°，

∴四边形ADEF是矩形，

又∵AB＝AC，∴AD＝AF，

则四边形ADEF是正方形；

(3)当∠BAC＝60°时，以点A，D，E，F为顶点的四边形不存在，

理由：若∠BAC＝60°，则∠DAF＝360°－∠BAC－∠DAB－∠FAC＝360°－60°－60°－60°＝180°，

此时，点A，D，E，F四点共线，

∴以点A，D，E，F为顶点的四边形不存在.