Question

如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和D的距离分别为1，2，.△ADP沿点A旋转至△ABP′，连接PP′，并延长AP与BC相交于点Q.

(1)求证：△APP′是等腰直角三角形；

(2)求∠BPQ的大小．

Answer

（1）证明见解析；（2）∠BPQ=45°．

【解析】

（1）根据旋转的性质可知，△APD≌△AP′B，所以AP=AP′，∠PAD=∠P′AB，因为∠PAD+∠PAB=90°，所以∠P′AB+∠PAB=90°，即∠PAP′=90°，故△APP′是等腰直角三角形；                

（2）根据勾股定理逆定理可判断△PP′B是直角三角形，再根据平角定义求出结果.

（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

∵△ADP沿点A旋转至△ABP′，

∴AP=AP′，∠PAP′=∠DAB=90°，

∴△APP′是等腰直角三角形；

（2）【解析】
∵△APP′是等腰直角三角形，

∴PP′=PA=，∠APP′=45°，

∵△ADP沿点A旋转至△ABP′，

∴PD=P′B=，

在△PP′B中，PP′=，PB=2，P′B=，

∵（）2+（2）2=（）2，

∴PP′2+PB2=P′B2，

∴△PP′B为直角三角形，∠P′PB=90°，

∴∠BPQ=180°﹣∠APP′﹣∠P′PB=180°﹣45°﹣90°=45°．