Question

如图，正方形ABCD的边长是，连接交于点O，并分别与边交于点，连接AE，下列结论： ； ； ； 当时， ，其中正确结论的个数是

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

Answer

B

【解析】∵四边形ABCD是正方形，AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，∵BP=CQ，∴AP=BQ，在△DAP与△ABQ中，AD=AB，∠DAP=∠ABQ，AP=BQ，∴△DAP≌△ABQ，∴∠P=∠Q，∵∠Q+∠QAB=90°，∴∠P+∠QAB=90°，∴∠AOP=90°，∴AQ⊥DP，则①正确；

∵∠DOA=∠AOP=90，∠ADO+∠P=∠ADO+∠DAO=90°，∴∠DAO=∠P，∴△DAO∽△APO，∴=，所以OA2=OD·OP，∵AE＞AB，∴AE＞AD，∴OD≠OE，∴OA2≠OE•OP；则②错误；

在△CQF与△BPE中，∠FCQ=∠EBP，∠Q=∠P，CQ=BP，∴△CQF≌△BPE，∴CF=BE，∴DF=CE，在△ADF与△DCE中，AD=CD，∠ADC=∠DCE，DF=CE，∴△ADF≌△DCE，∴S△ADF﹣S△DFO=S△DCE﹣S△DOF，即S△AOD=S四边形OECF；则③正确；

∵BP=1，AB=3，∴AP=4，∵△AOP∽△DAP，∴==，∴BE=，∴QE=，∵△QOE∽△PAD，∴===，∴QO=，OE=，∴AO=5-QO=，∴tan∠OAE==，则④错误，故选B.